Robotyzacja.com

..robotyka wokół naszych myśli

  • Zwiększ rozmiar czcionki
  • Domyślny  rozmiar czcionki
  • Zmniejsz rozmiar czcionki
Automatyka i Robotyka Robotyka Teoria robotyki Analiza kinematyczna manipulatora

Analiza kinematyczna manipulatora

Email Drukuj
Ocena użytkowników: / 0
SłabyŚwietny 
Analiza kinematyczna manipulatora

- Przekształcenia różniczkowe – jakiej zmianie będzie podlegał układ przy różniczkowym przesunięciu i różniczkowym obrocie.
       dd = [dX dY dZ]T ( przesuw )
       Rot(l,dΘ) ( obrót )

       A + dA = Transl(dd)Rot(l,dΘ)A
       dA = [Transl(dd)Rot(l,dΘ) – I]A
       Na różniczkową zmianę dA można patrzyć także z układu A
       A + dA = ATransl(dd)Rot(l,dΘ)
       dA = A[Transl(dd)Rot(l,dΘ) – I]
       Wprowadzam oznaczenie Δ liniowego operatora różniczkowej zmiany, gdzie
       Δ = Transl(dd)Rot(l,dΘ) – I
       czyli
       dA = ΔA
       dA = AAΔ
    Powyższe można zilustrować grafem
Image

       dA – różniczkowa zmiana
       A + dA – nowy układ po różniczkowej zmianie
           AΔ = A-1ΔA
    
   Δ= AAΔA-1
       Image
       Jeżeli dΘ→0
       to
       sinΘ → dΘ
       cosΘ → 1
       Wtedy
       Image
       Wtedy
       Image
       TWIERDZENIE
Jeżeli W jest dowolnym skośnosymetrycznym operatorem liniowym w trójwymiarowej, euklidesowej przestrzeni wektorowej R3 oraz ma w ortonormalnej bazie i j k postać :
      Image 
       to dla każdego rektora r ε R3 prawdziwe jest równanie r’ = Ωr = ω x r, gdzie = ω1i + ω2j + ω3k

       Korzystając z powyższego przy W = 0 lub 1 można zapisać, że
      Image
       
       Wersor osi l można rozłożyć na l = l1i X r + l2j X r + l3k X r
       wtedy
       (l1i X r + l2j X r + l3k X r)dΘ + ddW = (l1(i X r) + l2(j X r) + l3(k X r))dΘ + ddW =
       = (i X r)δ1 + (j X r)δ2 + (k X r)δ3 + ddW
       Δr przyjmuje postać
       Image
       Każdy różniczkowy obrót może być zastąpiony trzema obrotami

- Pełna zmiana różniczkowa – przesuw dookoła każdej osi i obrot dookoła każdej osi. Można tu mówić o wektorze pełnej różniczkowej zmiany o postaci
       D = [ δ1 δ2 δ3 dx dy dz ]T lub D = [dx dy dz δ1 δ2 δ3]T
       Wektory te składają się z dwóch wektorów :
       D = [δ dd ]T

Przykład
Dany jest układ A
  Image     
oraz wektor różniczkowej zmiany D = [ 0 0.1 0 1 0 0.5 ]T
Znaleźć różniczkową zmianę dA

       dA = ΔA
   Image    
Nowym układem jest A + dA


- Na zmianę układu można patrzyć także z układu A wtedy dA = ΔA = AAΔ
       Można w ten sposób wyznaczyć AΔ=A-1ΔA
       Przyjmując T = A można wyznaczyć TΔ = T-1ΔT
       Image
       Image
       Image
Operator różniczkowej zmiany, wyrażony względem T poprzez elementy różniczkowej zmiany dane wg układu bazowego.
       Można teraz uprościć elementy powyższej macierzy
       Image
       Image
       Image
       Co można zapisać w postaci :
           TD = [  TδX TδY TδZ Tdx Tdy Tdz ]T lub D = [ Tdx Tdy Tdz  TδX TδY TδZ]T
       Wektory te składają się z dwóch wektorów :
           TD = [ Tδ dd ]T lub TD = [dd Tδ ]T
       Reasumując :
       Image

PRZYKŁAD
Na podstawie obrazu uzyskanego z kamery otrzymujemy wektor różniczkowej zmiany KD, który pozwoli umieścić dany obiekt na miejscu.
Image
           TNΔ = TOOL*W*M-1*S-1*KΔ*S*M*W-1*TOOL-1
       S*M*W-1*TOOL-1 = T
       TOOL*W*M-1*S-1 = T-1
           TΔ = T-1*Δ*T
       T – transformacja pomiędzy układem, w którym dane jest  KΔ do układu, w którym chcemy jego znaleźć.

Dla pary obrotowej :
       D = [ 0 0 δZ 0 0 0 ]T
Dla pary translacyjnej :
       D = [ 0 0 0 0 0 dZ ]T

Na bazie tych wektorów można zbudować wektor różniczkowej zmiany

Dla pary obrotowej
  Image     
Dla pary translacyjnej
   Image    

Powyższe zwane są macierzami Bejczego ( czyt. Bejcego ), oznaczane przez Q
       Q = Qlub QP

 
Naszą witrynę przegląda teraz 57 gości 

Szukaj artykułu

Partnerzy


Tematy pokrewne