- Przekształcenia różniczkowe – jakiej zmianie będzie podlegał układ przy różniczkowym przesunięciu i różniczkowym obrocie.
dd = [dX dY dZ]T ( przesuw )
Rot(l,dΘ) ( obrót )
A + dA = Transl(dd)Rot(l,dΘ)A
dA = [Transl(dd)Rot(l,dΘ) – I]A
Na różniczkową zmianę dA można patrzyć także z układu A
A + dA = ATransl(dd)Rot(l,dΘ)
dA = A[Transl(dd)Rot(l,dΘ) – I]
Wprowadzam oznaczenie Δ liniowego operatora różniczkowej zmiany, gdzie
Δ = Transl(dd)Rot(l,dΘ) – I
czyli
dA = ΔA
dA = AAΔ
Powyższe można zilustrować grafem
dA – różniczkowa zmiana
A + dA – nowy układ po różniczkowej zmianie
AΔ = A-1ΔA
Δ= AAΔA-1
Jeżeli dΘ→0
to
sinΘ → dΘ
cosΘ → 1
Wtedy
Wtedy
TWIERDZENIE
Jeżeli W jest dowolnym skośnosymetrycznym operatorem liniowym w trójwymiarowej, euklidesowej przestrzeni wektorowej R3 oraz ma w ortonormalnej bazie i j k postać :
to dla każdego rektora r ε R3 prawdziwe jest równanie r’ = Ωr = ω x r, gdzie = ω1i + ω2j + ω3k
Korzystając z powyższego przy W = 0 lub 1 można zapisać, że
Wersor osi l można rozłożyć na l = l1i X r + l2j X r + l3k X r
wtedy
(l1i X r + l2j X r + l3k X r)dΘ + ddW = (l1(i X r) + l2(j X r) + l3(k X r))dΘ + ddW =
= (i X r)δ1 + (j X r)δ2 + (k X r)δ3 + ddW
Δr przyjmuje postać
Każdy różniczkowy obrót może być zastąpiony trzema obrotami
- Pełna zmiana różniczkowa – przesuw dookoła każdej osi i obrot dookoła każdej osi. Można tu mówić o wektorze pełnej różniczkowej zmiany o postaci
D = [ δ1 δ2 δ3 dx dy dz ]T lub D = [dx dy dz δ1 δ2 δ3]T
Wektory te składają się z dwóch wektorów :
D = [δ dd ]T
Przykład
Dany jest układ A
oraz wektor różniczkowej zmiany D = [ 0 0.1 0 1 0 0.5 ]T
Znaleźć różniczkową zmianę dA
dA = ΔA
Nowym układem jest A + dA
- Na zmianę układu można patrzyć także z układu A wtedy dA = ΔA = AAΔ
Można w ten sposób wyznaczyć AΔ=A-1ΔA
Przyjmując T = A można wyznaczyć TΔ = T-1ΔT
Operator różniczkowej zmiany, wyrażony względem T poprzez elementy różniczkowej zmiany dane wg układu bazowego.
Można teraz uprościć elementy powyższej macierzy
Co można zapisać w postaci :
TD = [ TδX TδY TδZ Tdx Tdy Tdz ]T lub D = [ Tdx Tdy Tdz TδX TδY TδZ]T
Wektory te składają się z dwóch wektorów :
TD = [ Tδ dd ]T lub TD = [dd Tδ ]T
Reasumując :
PRZYKŁAD
Na podstawie obrazu uzyskanego z kamery otrzymujemy wektor różniczkowej zmiany KD, który pozwoli umieścić dany obiekt na miejscu.
TNΔ = TOOL*W*M-1*S-1*KΔ*S*M*W-1*TOOL-1
S*M*W-1*TOOL-1 = T
TOOL*W*M-1*S-1 = T-1
TΔ = T-1*Δ*T
T – transformacja pomiędzy układem, w którym dane jest KΔ do układu, w którym chcemy jego znaleźć.
Dla pary obrotowej :
D = [ 0 0 δZ 0 0 0 ]T
Dla pary translacyjnej :
D = [ 0 0 0 0 0 dZ ]T
Na bazie tych wektorów można zbudować wektor różniczkowej zmiany
Dla pary obrotowej
Dla pary translacyjnej
Powyższe zwane są macierzami Bejczego ( czyt. Bejcego ), oznaczane przez Q
Q = QR lub QP
| « poprzednia | następna » |
|---|
