Operator obrotu dowolna oś i kąt obrotu dookoła niej

niedziela, 27 maja 2007 20:19 Dominik Łuczak

Niech dana będzie oś o kosinusach kierunkowych :
l = l_Xi + l_Yj + l_Zk
Wyprowadzenie przez wykorzystanie operatorów obrotów względem osi X, Y, Z

Załóżmy, że

Rot(l,θ) = PRot(x,θ)P^-1 =

Gdzie odpowiednio :

a₁₁ = n_X² + o_X( o_Xcosθ - a_Xsinθ ) + a_X( o_Xsinθ + a_Xcosθ )

a₁₂ = n_Xn_Y + o_X( o_Ycosθ - a_Ysinθ ) + a_X( o_Ysinθ + a_Ycosθ )

a₁₃ = n_Xn_Z + o_X( o_Zcosθ - a_Zsinθ ) + a_X( o_Zsinθ + a_Zcosθ )

a₂₁ = n_Xn_Y + o_Y( o_Xcosθ - a_Xsinθ ) + a_Y( o_Xsinθ + a_Xcosθ )

a₂₂ = n_Y² + o_Y( o_Ycosθ - a_Ysinθ ) + a_Y( o_Ysinθ + a_Ycosθ )

a₂₃ = n_Yn_Z + o_Y( o_Zcosθ - a_Zsinθ ) + a_Y( o_Zsinθ + a_Zcosθ )

a₃₁ = n_Xn_Z + o_Z( o_Xcosθ - a_Xsinθ ) + a_Z( o_Xsinθ + a_Xcosθ )

a₃₂ = n_Yn_Z + o_Z( o_Ycosθ - a_Ysinθ ) + a_Z( o_Ysinθ + a_Ycosθ )

a₃₃ = n_Z² + o_Z( o_Ycosθ - a_Ysinθ ) + a_Z( o_Ysinθ + a_Ycosθ )

Upraszczam elementy diagonalne

a₁₁ = n_X² + o_X²cosθ + a_X²cosθ + a_Xo_Xsinθ - a_Xo_Xsinθ = n_X² + o_X²cosθ + n_X²cosθ + a_X²cosθ - n_X²cosθ =

= n_X²( 1- cosθ ) + cosθ

a₂₂ = n_Y²( 1- cosθ ) + cosθ

a₃₃ = n_Z²( 1- cosθ ) + cosθ

Przekształcenie elementów pozadiagonalnych :

a₂₁ = n_Xn_Y + o_Y( o_Xcosθ - a_Xsinθ ) + a_Y( o_Xsinθ + a_Xcosθ ) =

= n_Xn_Y+ o_Xo_Ycosθ - a_Xo_Ysinθ + a_Yo_Xsinθ + a_Xa_Ycosθ =

n_Xn_Y + o_Xo_Ycosθ + a_Xa_Ycosθ + sinθ( a_Yo_{X -}a_Xo_Y) =

n_Xn_Y + o_Xo_Ycosθ + a_Xa_Ycosθ + n_Zsinθ + n_Xn_Ycosθ - n_Xn_Ycosθ =

n_Xn_Y + cosθ( n_Xn_Y + o_Xo_Y + a_Xa_Y ) + n_Zsinθ - n_Xn_Ycosθ =

n_Xn_Y + n_Zsinθ - n_Xn_Ycosθ =

n_Xn_Y( 1 - cosθ ) + n_Zsinθ

a₃₁ = n_Xn_Z ( 1- cosθ ) - n_Ysinθ

a₁₂ = n_Xn_Y ( 1- cosθ ) - n_Zsinθ

a₃₂ = n_Yn_Z ( 1- cosθ ) + n_Xsinθ

a₁₃ = n_Xn_Z ( 1- cosθ ) + n_Ysinθ

a₂₃ = n_Yn_Z ( 1- cosθ ) - n_Xsinθ

Przyjęliśmy nałożenie osi x na oś l , wobec tego zamieniam kosinusy kierunkowe na :

a₁₁ = l_Xl_X( 1 – cosθ ) + cosθ

a₁₂ = l_Xl_Y( 1 – cosθ ) – l_Zsinθ

a₁₃ = l_Xl_Z( 1 – cosθ ) + l_Ysinθ

a₂₁ = l_Yl_X( 1 – cosθ ) + l_Zsinθ

a₂₂ = l_Yl_Y( 1 – cosθ ) + cosθ

a₂₃ = l_Yl_Z( 1 – cosθ ) – l_Xsinθ

a₃₁ = l_Zl_X( 1 – cosθ ) – l_Ysinθ

a₃₂ = l_Zl_Y( 1 – cosθ ) + l_Xsinθ

a₃₃ = l_Zl_Z( 1 – cosθ ) + cosθ

Wprowadzając oznaczenia

l_X = l₁

l_Y = l₂

l_Z = l₃

Mając obrany układ współrzędnych o konkretnej orientacji można określić kąt obrotu i oś, które to nałożyłyby układ bazowy na dany układ – przy założeniu, że kąt θ = (0 ÷ 180)⁰.
Niech dane będzie P

= Rot(l,θ)=

n_X + o_Y + a_Z + 1 = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ = 1 – cosθ + 3cosθ + 1 = 2 + 2cosθ

½( n_X + o_Y + a_Z - 1 ) = cosθ

Przyrównuję elementy z głównej przekątnej

n_X = a₁₁

o_Y =a₂₂

a_Z= a₃₃

n_X = l_Xl_X( 1 – cosθ ) + cosθ

o_Y = l_Yl_Y( 1 – cosθ ) + cosθ

a_Z = l_Zl_Z( 1 – cosθ ) + cosθ

Z czego można wyznaczyć kosinusy kierunkowe prostej l

Różnica elementów pozadiagonalnych :

o_Z – a_Y = a₃₂ – a₂₃ = 2l_Xsinθ

a_X – n_Z = a₁₃ – a₃₁ = 2l_Ysinθ

n_Y – o_X = a₂₁ – a₁₂ = 2l_Zsinθ

Z czego ostatecznie

Jako wiążącą dla dalszych obliczeń wybieramy co do wartości bezwzględnej największą z powyższych, następnie należy ją podstawić do dwóch z poniższych równań ( suma elementów pozadiagonalnych ) i obliczyć pozostałe dwie ( wygodne ze względu na ominięcie błędu popełnianego przy pierwiastkowaniu – niedokładność wyniku ) :

o_Z + a_Y = 2l_Yl_Z( 1 - cosθ )

a_X + n_Z = 2l_Xl_Z( 1 - cosθ )

n_Y + o_X = 2l_Yl_X( 1 - cosθ )

« poprzednia		następna »

Robotyzacja.com

Operator obrotu dowolna oś i kąt obrotu dookoła niej

Menu główne

Wiedza

Społeczność

Szukaj artykułu

Partnerzy

Tematy pokrewne

Nowości

Popularne